ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава

1. Главные сведения из динамики АСР

1.1. Переходный процесс в АСР

При обычных критериях эксплуатации вся система регулирования находится в установившемся режиме. При всем этом все регулируемые величины соответствуют своим номинальным значениям, а регулирующие органы недвижны. Таковой режим работы АСР именуют статическим. Если в некий момент времени к системе приложено какое-то возмущение (f(t)), то ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава это приведет к отклонению регулируемых величин от данных значений и, как следствие, к работе регулирующих устройств с целью устранения обстоятельств возмущения и возвращения регулируемых величин к своим номинальным либо близким к ним значениям.

Изменение регулируемых величин во времени в течение всего процесса регулирования именуют переходным процессом ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава.

Таковой режим работы системы именуют динамическим режимом (динамикой).

В общем случае динамика в линейной непрерывной АСР может быть описана линейным неоднородным дифференциальным уравнением с неизменными коэффициентами.

где

- неизменные коэффициенты ;

y(t) - регулируемая величина ;

f(t) - возмущающее воздействие.

Эта запись подразумевает зависимость выходной величины y(t) от входного воздействия f(t) и независимость входного ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава воздействия f(t) от выходного сигнала

y(t) (Рис. 1.1.).

f(t) y(t)


Рис. 1.1.

Полагая , т.е. вводя знак дифференцирования , уравнение можно записать в виде:

либо

.

Тут и - операторные многочлены левой и правой частей уравнения.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде 2-ух слагаемых - принужденного движения ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава ув и свободных

колебаний усв(t):

ув + усв(t).

Принужденная составляющая переходного процесса является установившимся значением регулируемой величины и находится из начального дифференциального уравнения приравниванием к нулю всех производных в левой и правой частях уравнения.

ув= уст, т.е. ув= уст

Свободная составляющая переходного процесса (усв ) либо, по другому, переходная составляющая (упер ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава общего решения неоднородного дифференциального уравнения ищется как общее решение однородного дифференциального уравнения в виде:

усв =упер = = ,

где

- і-ый корень характеристического уравнения ,

соответственного однородному дифференциальному уравнению:

;

- і-ая неизменная интегрирования, определяемая из исходных критерий;

- знак суммирования отдельных составляющих общего решения.

Исходными критериями именуют значения функций и их производных до го порядка включительно ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава при (в исходный момент времени ).

Различают исходные условия для моментов времени и .

В первом случае рассматривается поведение функции в нулевой момент времени сразу после приложения возмущения (справа от начала координат); 2-ой случай - поведение функции в нулевой момент времени, конкретно перед приложением возмущающего воздействия (слева от начала координат ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава).

Устойчивость АСР

Переходный процесс в системе описывается уравнением:

Если все корешки обыкновенные действительные ( ), то любая из составляющих переходного процесса меняется по закону экспоненты.

При всем этом переходная составляющая процесса стремится к нулю при (рис.1.2 а) либо уходит в бесконечность от установившегося значения при (рис.1.2 б).

y y


0 t 0 t

а) б)

Рис. 1.2

Если в ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава уравнении имеется полный сопряженный корень ,то соответственная ему составляющая переходного процесса меняется по синусоидальному закону (рис.1.3):

,

где

амплитуда колебаний;

частота колебаний;

сдвиг фаз (исходная фаза).

y y

ai<0 ai>0

0 t 0 t

а) б)

Рис.1.3.

Эти величины играют роль неизменных интегрирования. При всем этом при (рис.1.3 а) и уходит в бесконечность при (рис ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава.1.3. б).

АСР, переходные процессы в каких ²затухают ² со временем, именуют устойчивыми.

АСР, у каких переходные процессы расползаются со временем, именуют неуравновешенными.

Работоспособные системы должны быть устойчивыми.

Из изложенного вытекает нужное условие стойкости системы -отрицательность реальной части корней характеристического уравнения, соответственного дифференциальному уравнению, которым описывается динамика системы.

1.3. Принцип суперпозиции. Типовые ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава возмущения.

Для линейной системы справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что сумме всех возмущений соответствует сумма выходных реакций, любая из которых определяется подходящим воздействием; при любом изменении входного возмущения без конфигурации его формы выходная величина претерпевает такое же изменение, также не изменяя формы.

Принцип суперпозиции применим не только лишь ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава к суммам, да и к интегралам. Если входное возмущение в системе представляет собой нескончаемо огромное число нескончаемо малых простых возмущений, то выходная величина линейной системы представляет собой сумму нескончаемо малых реакций на эти нескончаемо малые возмущения.

Принцип суперпозиции дает возможность выразить реакцию системы на хоть какое возмущение через ее реакцию на ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава определенный вид простых возмущений. Для этого довольно представить случайное возмущение простыми воздействиями избранного типа.

В качестве типовых возмущений в большинстве случаев используют единичную скачкообразную функцию, единичную импульсную функцию, единичную линейную функцию, единичное гармоническое колебание.

1. Единичная скачкообразная функция обрисовывает секундное изменение какого-то воздействия от 0 до 1 (рис ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава.1.4).

f


t

0 t

Рис.1.4.

Аналитически скачкообразную функцию записывают как :

0 при и

1 при и

2. Единичная импульсная функция обрисовывает краткосрочное возмущение, имеющее нрав краткосрочного импульсного толчка (рис. 1.5 ).

f


0 t

Рис.1.5.

Единичная импульсная функция, именуемая - функцией Дирака, представляет собой первую производную от единичной скачкообразной функции:

и равна нулю всюду, не считая , где она воспринимает нескончаемое значение, при этом при ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава условии, что интеграл от нее по хоть какому интервалу, содержащему , равен единице.

Функцию, владеющую такими качествами, можно получить как предел положительного прямоугольного импульса, имеющего единичную площадь, когда продолжительность этого импульса стремится к нулю (рис. 1.6).

f

S(=1)

h

t

0

Рис.1.6.

3. Единичную линейную функцию при именуют еще рамповым возмущением (Рис. 1.7).

f


0 t

Рис.1.7.

Такое возмущение является ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава обычным для следящих систем регулирования.

4. Единичное гармоническое возмущение в большинстве случаев записывают как функцию, изменяющуюся по синусоидальному закону ( Рис. 1.8):


f


0 t


Рис. 1.8

Таковой тип возмущений используют при частотных способах анализа АСР.
2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА В ТАУ

2.1. Прямое и оборотное преобразования Лапласа

Уравнения динамики АСР в символической Форме имеют вид:

,

либо

.

Для нахождения ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава интеграла функции необходимо решить характеристическое уравнение:

Уравнения пятой и выше степеней в радикалах не решаются, а решения уравнений третьей и четвертой степеней громоздки. Потому при анализах АСР перебегают от традиционных способов решения дифференциальных уравнений к их решениям при помощи преобразований Лапласа.

Преобразование Лапласа – функциональное преобразование, при котором ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава функция вещественного переменного преобразуется в функцию всеохватывающего

переменного .

Функция преобразуема по Лапласу, если она определена и однозначна для всей области и если

(конечен),

т.е. если она удовлетворяет условиям Дирихле.

Минимум значения , при котором обозначенный интеграл конечен, именуют абсциссой абсолютной сходимости. Для большинства функций =0. Функцию именуют оригиналом. Функцию - изображением (по Лапласу ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава).

Преобразование оригинала в изображение именуют прямым преобразованием Лапласа и производят при помощи интеграла:

Преобразование изображения в оригинал именуют оборотным преобразованием Лапласа и производят при помощи интеграла:

,

Операции прямого и оборотного преобразований Лапласа будем обозначать через L и L-1 соответственно.

Связь меж оригиналом и изображением записывается в виде:

.

Пример 1. Отыскать изображение единичной ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава скачкообразной функции .

L L .

Пример 2. Отыскать изображение показательной функции .

L L ;

2.2. Главные аксиомы преобразования Лапласа

2.2.1. Аксиомы линейности

L L , ,

L L L .

2.2.2. Аксиомы о конечном и исходном значениях оригинала

,

.

2.2.3. Аксиома запаздывания в области вещественного переменного.

Если функция смещена на величину t от начала координат (Рис. 2.1.), то такую функцию именуют функцией ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава с запаздывающим аргументом и записывают как .

f


0 t


Рис.2.1.

Изображение таковой функции имеет вид:

L .

2.2.4. Аксиома смещения в области всеохватывающего переменного.

L ,

где - величина смещения в всеохватывающей плоскости.

2.2.5. Аксиомы масштабов

L ,

L ,

2.2.6. Аксиома дифференцирования при нулевых исходных критериях

L L ,

где n-порядок производной.

2.2.7. Аксиома интегрирования при нулевых исходных критериях

L ,

Тут n-кратность интеграла.

2.2.8. Аксиома ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава свертки оригиналов

Если

и

то

,

где t-переменная интегрирования.

2.3. Передаточная функция

Динамику АСР относительно регулируемой величины по каналу возмущающего воздействия можно записать в виде дифференциального уравнения в символической форме:

,

либо

Если это уравнение конвертировать по Лапласу, используя аксиомы линейности и дифференцирования при нулевых исходных критериях, то перевоплощенное по Лапласу уравнение по форме записи ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава будет совпадать с символичной формой. Отличие состоит в том, что заместо оригиналов и необходимо записывать их изображения и и под эмблемой дифференцирования осознавать всеохватывающую переменную. С учетом произнесенного, перевоплощенное по Лапласу при нулевых исходных критериях начальное уравнение динамики воспримет вид:

,

где

и -операторные многочлены левой и правой частей уравнения,

и ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава -изображения выходной и входной величин.

Последнее выражение можно записать в виде

Отношение изображения выходной величины системы к изображению входного воздействия при нулевых исходных критериях именуют передаточной функцией системы.

Обычно, эту функцию записывают как

2.4. Переходный процесс в АСР

Изображение регулируемой величины , т.е. изображение переходного процесса можно выразить через передаточную функцию системы относительно ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АСР 1 глава регулируемой величины по каналу возмущающего воздействия как:

,

где -изображение возмущающего воздействия.


lingvisticheskie-zamechaniya.html
lingvisticheskij-analiz-teksta.html
lingvisticheskij-eksperiment.html