Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства.

Набор векторов именуется системой векторов. Система из векторов именуется линейно зависимой, если есть такие числа , не все равные нулю сразу, что
(1.1)

Система из векторов именуется линейно независящей, если равенство (1.1) может быть только при , т.е. когда линейная композиция в левой части равенства (1.1) очевидная.


Замечания 1.2

1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства., а при — линейно независимую.

2. Неважно какая часть системы векторов именуется подсистемой.

Характеристики линейно зависимых и линейно независящих векторов
1. Если в систему векторов заходит нулевой вектор, то она линейно зависима
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. , то она линейно зависима.
4. Система из векторов линейно зависима и тогда только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная композиция других.
5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся совершенно точно.

Докажем, к примеру, последнее свойство. Потому что система векторов — линейно зависима, то есть числа , не все равные 0, что . В этом равенстве . По правде, если Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. , то . Означает, нетривиальная линейная композиция векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Как следует, тогда и , т.е. вектор есть линейная композиция векторов . Осталось показать единственность такового представления. Представим неприятное. Пусть имеется два разложения и , при этом не все коэффициенты разложений соответственно равны меж собой (к примеру, ).

Тогда из Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. равенства получаем .

Как следует, линейная композиция векторов равна нулевому вектору. Потому что не все ее коэффициенты равны нулю (по последней мере ), то эта композиция нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Приобретенное противоречие подтверждает единственность разложения.

Определения размерности и базиса

Линейное место именуется n-мерным, если в нем Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. существует система из линейно независящих векторов, а неважно какая система из большего количества векторов линейно зависима. Число именуется размерностью (числом измерений) линейного места и обозначается . Другими словами, размерность места — это наибольшее число линейно независящих векторов этого места. Если такое число существует, то место именуется конечномерным. Если же для хоть Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. какого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независящих векторов, то такое место именуют бесконечномерным (записывают: ). Дальше, если не обсуждено неприятное, будут рассматриваться конечномерные места.

Базисом n-мерного линейного места именуется упорядоченная совокупа линейно независящих векторов (базовых векторов).

Аксиома 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. линейного места , то хоть какой вектор может быть представлен в виде линейной композиции базовых векторов:

и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются совершенно точно. Другими словами, хоть какой вектор места может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Вправду, размерность места равна . Система векторов линейно независима Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. (это базис). После присоединения к базису хоть какого вектора , получаем линейно зависимую систему (потому что это система состоит из векторов n-мерного места). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независящих векторов получаем заключение аксиомы.

Следствие 1. Если — базис места , то , т.е. линейное место является линейной оболочкой базовых векторов.

По Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. правде, для подтверждения равенства 2-ух множеств довольно показать, что включения и производятся сразу. Вправду, с одной стороны, неважно какая линейная композиция векторов линейного места принадлежит самому линейному месту, т.е. . С другой стороны, хоть какой вектор места по аксиоме 8.1 можно представить в виде линейной композиции базовых векторов, т.е. . Отсюда следует Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. равенство рассматриваемых множеств.

Следствие 2. Если — линейно независящая система векторов линейного места и хоть какой вектор может быть представлен в виде линейной композиции (8.4): , то место имеет размерность , а система является его базисом.

По правде, в пространстве имеется система линейно независящих векторов, а неважно какая система из большего количества векторов линейно Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. зависима, так как каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы . Означает, и — базис .

Аксиома 8.2 о дополнении системы векторов до базиса. Всякую линейно независимую систему векторов n-мерного линейного места можно дополнить до базиса места.

По правде, пусть — линейно независящая система векторов n-мерного места . Разглядим линейную оболочку Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. этих векторов: . Хоть какой вектор образует с векторами линейно зависимую систему , потому что вектор линейно выражается через другие. Так как в n-мерном пространстве существует линейно независящих векторов, то и существует вектор , который не принадлежит . Дополняя этим вектором линейно независимую систему , получаем систему векторов , которая также линейно независящая Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства.. Вправду, если б она оказалась линейно зависимой, то из пт 1 замечаний 8.3 следовало, что , а это противоречит условию . Итак, система векторов линейно независящая. Означает, первоначальную систему векторов удалось дополнить одним вектором без нарушения линейной независимости. Продолжаем аналогично. Разглядим линейную оболочку этих векторов: . Если , то — базис и аксиома подтверждена. Если , то дополняем Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. систему вектором и т.д. Процесс дополнения непременно завершится, потому что место конечномерное. В итоге получим равенство , из которого следует, что — базис места . Аксиома подтверждена.

Замечания 8.4

1. Базис линейного места определяется разносторонне. К примеру, если — базис места , то система векторов при любом также является базисом . Количество базовых векторов в Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. различных базисах 1-го и такого же конечномерного места, очевидно, одно и то же, потому что это количество равно размерности места.

2. В неких местах, нередко встречающихся в приложениях, один из вероятных базисов, более удачный с практической точки зрения, именуют стандартным.

3. Аксиома 8.1 позволяет гласить, что базис — это полная система Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. частей линейного места, в том смысле, что хоть какой вектор места линейно выражается через базовые векторы.

4. Если огромное количество является линейной оболочкой , то векторы именуют образующими огромного количества . Следствие 1 аксиомы 8.1 в силу равенства позволяет гласить, что базис — это малая система образующих линейного места , потому что нельзя уменьшить количество образующих (удалить хотя бы один Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства. вектор из набора ) без нарушения равенства .

5. Аксиома 8.2 позволяет гласить, что базис — это наибольшая линейно независящая система векторов линейного места, потому что базис — это линейно независящая система векторов, и ее нельзя дополнить любым вектором без утраты линейной независимости.

6. Следствие 2 аксиомы 8.1 комфортно использовать для нахождения базиса и размерности линейного места Линейная зависимость и независимость векторов; базис и размерность линейного пространства.. В неких учебниках оно берется за определение базиса, а конкретно: линейно независящая система векторов линейного места именуется базисом, если хоть какой вектор места линейно выражается через векторы . Количество базовых векторов определяет размерность места. Очевидно, что эти определения эквивалентны приведенным выше.


linejnie-uravneniya-visshih-poryadkov.html
linejnij-matrichnij-ili-odnostupenchatij-deshifrator.html
linejnij-vichislitelnij-process.html