Линейная функция (линия регрессии)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.

Обработка результатов опыта

Цель работы: Исследование способностей пакета MS Excel при решении задач обработки экспериментальных данных. Приобретение способностей обработки результатов опыта.

Постановка задачки:

Одной из всераспространенных задач в науке, технике, экономике является аппроксимация экспериментальных данных, алгебраических данных аналитическими выражениями. Возможность подобрать характеристики уравнения таким макаром, чтоб его решение совпало с Линейная функция (линия регрессии) данными опыта, часто является подтверждением (либо опровержением) теории.

Разглядим последующую математическую задачку. Известные значения некой функции f образуют таблицу:

Таблица 3.1

x x1 x2 . . . xn
f(x) y1 y2 . . . yn

Нужно выстроить аналитическую зависимость y =f(x), более близко описывающую результаты опыта. Построим функцию y =f(x, a0, a1, ..., ak) таким Линейная функция (линия регрессии) макаром, чтоб сумма квадратов отклонений измеренных значений yi от расчетных f(xi ,a0, a1, ..., ak) была меньшей (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1 Графическая интерпретация способа меньших квадратов.

Математически эта задачка равносильна последующей: отыскать значение характеристик a0, a1, a2, ...,ak, при которых функция воспринимала бы малое значение.

Эта задачка сводится к решению системы уравнений:

Если Линейная функция (линия регрессии) характеристики ai входят в зависимость y =f(x,ao, a1, …, ak) линейно, то мы получим систему линейных уравнений:

Решив систему, найдем характеристики ao, a1, ..., ak и получим зависимость y =f(x, ao, a1, ..., ak).

Линейная функция (линия регрессии)

Нужно найти характеристики функции y = ax+b. Составим функцию S:

Продифференцируем выражение для S по a и b, сформируем систему линейных Линейная функция (линия регрессии) уравнений, решив которую мы получим последующие значения характеристик:

Подобранная ровная именуется линией регрессии y на x, a и b именуются коэффициентами регрессии.

Чем меньше величина

тем паче обусловлено предположение, что табличная зависимость описывается линейной функцией. Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи меж x и y. Это коэффициент корреляции. Он рассчитывается по формуле Линейная функция (линия регрессии):

Коэффициент корреляции r и коэффициент регрессии a связаны соотношением:

где Dy, Dx - среднеквадратичное отклонение значений x и y.

Значение коэффициента корреляции удовлетворяет соотношению -1 ≤ r ≤ 1. Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем поближе к полосы регрессии размещаются экспериментальные точки. Если коэффициент корреляции равен нулю, то переменные x, y именуются некоррелированными. Если r = 0, то это только значит, что меж x Линейная функция (линия регрессии), y не существует линейной связи, но меж ними может существовать зависимость, хорошая от линейной.

Для того чтоб проверить, значимо ли отличается от нуля коэффициент корреляции, можно использовать аспект Стьюдента. Вычисленное значение аспекта определяется по формуле:

Значение t сравнивается со значением, взятым из таблицы рассредотачивания Стьюдента в согласовании с уровнем значимости Линейная функция (линия регрессии) a и числом степеней свободы n-2. Если t больше табличного, то коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Квадратичная функция

Нужно найти характеристики функции y = ao + a1x + a2x2.

Составим функцию:

Для этой функции запишем систему уравнений :

(8.6)

Для нахождения характеристик ao, a1, a2 нужно решить систему линейных алгебраических уравнений.

Кубическая функция

Нужно найти характеристики многочлена третьей Линейная функция (линия регрессии) степени y = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3.

Составим функцию S:

Система уравнений для нахождения характеристик ao, a1, a2, a3 имеет вид:

Для нахождения характеристик ao, a1, a2, a3 нужно решить систему четырёх линейных алгебраических уравнений.

Если в качестве аналитической зависимости выберем многочлен k-й степени y Линейная функция (линия регрессии) = ao+a1x+...+ak xk, то система уравнений для определения характеристик ai воспринимает вид:


linejnie-neprerivnie-asr-1-glava.html
linejnie-neprerivnie-asr-14-glava.html
linejnie-neprerivnie-asr-6-glava.html